Question

如图，已知AD∥BC，DC⊥AD,∠BAD的平分线交CD于点E，且E是CD的中点，问：（1）点E在∠ABC的平分线上吗？

如图，已知AD∥BC，DC⊥AD,∠BAD的平分线交CD于点E，且E是CD的中点，问：（1）点E在∠ABC的平分线上吗？（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明。

Answer 1

（1）在。

（2）AD+BC与AB相等。

解法（看图）：

做AE的延长线和BC的延长线交于F点。

由于DE=EC，∠ADE=∠FCE，∠AED=∠FEC，两角夹边都相等，

所以△ADE≌△FCE

所以AE=EF，AD=CF，∠EAD=∠EFC（下面会用到这些）

∵AE平分∠BAD

∴∠BAE=∠BAF=∠EAD

∵∠EAD=∠EFC    ∴∠BAF=∠BAE=∠EFC=∠AFB

∴∠BAF=∠AFB

∴△BAF为等腰三角形

又∵AE=EF，∴BE为等腰三角形底边的中分线，也就是∠ABC的平分线。（1）

∵△BAF为等腰三角形

∴AB=BF=BC+CF=BC+AD（2）

Answer 2

解(1)延长AE、BC两线交于点F，连接BE
在△ADE和△FCE中，
因为AD//CF，所以∠D=∠FCE　①
因为E是CD的中点，所以DE=CE ②
另有∠AED=∠FEC（已知） ③
所以△ADE≌△FCE（ASA）
在△ABE和△FBE中
由AD//CF，得∠DAE=∠BFE（内错角），所以∠BAE=∠BFE（等量代换） ④
由△ADE≌△FCE得AE=FE ⑤
BE=BE⑥
由 ④⑤⑥得△ABE≌△FBE（ASS）
所以，∠ABE=∠FBE，即BE是∠ABC的平分线，所以点E是在∠ABC的平分线上。
（2）由（1）中两组全等三角形的边的关系不难看出，AD+BC=AB。

Answer 3

（1）点E在∠ABC的平分线上，证明如下：
连接BE，过点E作AB的垂线EF交AB于F，在Rt△AFE和Rt△ADE中，有∠EAF=∠DAF，AE=AE
所以Rt△AFE≌Rt△ADE，所以有DE=EF，由于DE=EC，所以EF=EC，又有BE=BE，
所以Rt△EFB≌Rt△ECB，所以∠FBE=∠CBE。
（2）AD+BC=AB，由（1）知Rt△EFB≌Rt△ECB，所以BF=BC，又有Rt△AFE≌Rt△ADE，所以AF=AD，所以AF+BF=AD+BC，即有AB=AD+BC。

Answer 4

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