Question

已知F1,F2为椭圆C:x^2/4+y62/3=1的左右焦点，P为椭圆C上的动点，且A(1,2)

1，求PF1^2+PF2^2的取值范围
2，PF2+PA的最大值和最小值及最大值和最小值时P点坐标

Answer 1

椭圆C：x^2/4+y^2/3=1；
1、a=2，b=√3，c=1；
由椭圆特性 PF1+PF2＝2a；
因 PF1^2+PF2^2=(PF1+PF2)^2-2(PF1)*(PF2)=4a^2-2(PF1)*(PF2)≧4a^2-(PF1^2+PF2^2)；
所以 PF1^2+PF2^2≧2a^2=8（当且仅当PF1=PF2时取得最小值，P点位于椭圆短轴所在的顶点时）；
当PF1与PF2相差最大时（P点位于椭圆长轴所在的顶点），PF1^2+PF2^2取得最大值：
PF1^2+PF2^2≦(a-c)^2+(a+2c)^2=(2-1)^2+(2+1*2)^2=17 ；

2、A点在椭圆外，PF2+PA=PF1+PF2+PA-PF1=2a+(PA-PF1)；当PA-PF1最大时PF2+PA相应最大；
因PA-PF1<AF1（当PAF1可组成三角形时），只有当P在AF1的延长线上时，PA-PF1=AF1；
所以 PF2+PA≦2a+AF1=2a+√[(1-(-1))^2+(2-0)^2]=4+4=8；
最大值点坐标由直线y=[(2-0)/(1+1)]*(x+1)=x+1和椭圆C确定（距A较远点），解得：x=(-4-6√2)/7，y=(3-6√2)/7；
因 PF2+PA>AF2（当PAF2可组成三角形时），只有当P在直线AF2中间时，PA-PF2=AF2＝2；
此时坐标x=1，y=√[3(1-1/4)]=3/2；