Question

急求解！！当x为何值时，求下列各式的最大值或最小值。

1. x(4-2x) (0<x<2)
2. x^2+1/(4x^2)
3. x+(9/x)-1 (x>0)
4.3-2x-8/x (x>0)
5.2x+1/(x-1) (x>1)
PS：要求用均值定理解答。。。

Answer 1

均值不等式两种形式
a+b>=2根号ab
或者ab<=[(a+b)/2]^2

1.x>0,4-2x>0
x(4-2x)
=2[x(2-x)]
<=2[(x+2-x)/2]^2
=2
等号成立时，x=2-x,x=1,最大值2

2.x^2+1/(4x^2)>=2根号(x^2/(4x^2))=1
等号成立时，x^2=1/4x^2,x=±(根号2)/2,最小值1

3.x+(9/x)-1
>=2根号(x*9/x)-1
=6-1=5
等号成立时，x=9/x,x=3(舍去负值)，最小值5

4.3-2x-8/x
=3-2(x+4/x)

x+4/x>=2根号(x*4/x)=4
等号成立时x=4/x,x=2
然3-2(x+4/x)<=3-2*4=-5
x=2,最大值-5

5.2x+1/(x-1)
=2(x-1)+1/(x-1)+2
>=2根号(2(x-1)*1/(x-1))+2
=2根号2+2
等号成立时
2(x-1)=1/(x-1)
x-1=根号2/2
x=1+根号2/2,最小值2根号2+2

Answer 2

解：①原式=2x(2-x)≤(x+2-x)^2/2=2 (x=2-x，x=1)
②原式=？？？？？？？？
③原式≥2根号9-1=5(x=9/x，x=3)
④原式≤3-2根号2*8=-5(2x=8/x，x=2)
⑤原式=2(x-1)+1/(x-1)+2≥2根号2+2(2(x-1)=1/(x-1)，x=1+根号2/2)

Answer 3

25

追问

过程？？