Question

微积分中的二重积分

就（2）（5） 两题





Answer 1

1.先对x积分，积分区域为：0《y《1,0《x《y
∫∫e^(-y^2)dxdy=∫(0,1)e^(-y^2)dy∫(0,y)dx
=∫(0,1)ye^(-y^2)dy=(-1/2)e^(-y^2)|(0,1)=(1-1/e)
2.用柱面坐标：积分区域为 r《2sinθ, 0《θ《π
∫∫(x^2+y^2)dxdy=∫(0,π)dθ∫(0,2sinθ)r^3dr
=4∫(0,π)(sinθ)^4dθ=8∫(0,π/2)(sinθ)^4dθ=8*(3/4)(1/2)(π/2)=3π/2
3.分D为两部分，D1：^2+y^2《4,D2：<x^2+y^2《9
用柱面坐标：∫∫|x^2+y^2-4|dxdy
=∫∫D1(4-x^2-y^2)dxdy+∫∫D2(x^2+y^2-4）dxdy
=∫(0,2π)dθ∫(0,2)r(4-r^2dr+∫(0,2π)dθ∫(2,3)r(r^2-4)dr
=2π(4+81/4-12)=49π/2

Answer 2

没有计算，第二题应该是用极坐标进行换元求解
第五题首先应该把绝对值去掉，也就是说要把积分区域分成两个，一个是圆，另外一个是圆环，然后也是用换元法进行求解
上面是思路，不懂再问吧