Question

∫∫(x+y)^2dxdy,其中|X|+|Y|<=1; 我是这么做的： 4∫(下限是0上限是1)dx∫(下限是0上限是1-x)（x+y）^2dy

=4∫dx * [(x+y)^3]/3|(下限是0上限是1-x)
=1
结果错了为什么

Answer 1

解法一：（直接求解法）
原式=∫<-1,0>dx∫<-x-1,x+1>(x+y)²dy+∫<0,1>dx∫<x-1,1-x>(x+y)²dy
=(1/3)∫<-1,0>[(2x+1)³+1]dx+(1/3)∫<0,1>[1-(2x-1)³]dx
=(1/3)*1+(1/3)*1
=2/3；
解法二：（变量代换法）
∵令u=x+y，v=x-y。则αu/αx=1,αu/αy=1,αv/αx=1,αv/αy=-1,-1≤u≤1,-1≤v≤1
∴α(x,y)/α(u,v)=1/[α(u,v)/α(x,y)]=1/│αu/αx αu/αy│=1/│1 1│=-1/2
│αv/αx αv/αy│ │1 -1│
即dxdy=│α(x,y)/α(u,v)│dudv=(1/2)dudv
故 原式=∫<-1,1>du∫<-1,1>u²*(1/2)dv
=(1/2)∫<-1,1>u²du∫<-1,1>dv
=(1/2)*(2/3)*2
=2/3。

Answer 2

可能4倍有点问题，被积函数的对称性？x^2,和y^2是2倍，但
xy对x对y是奇函数，积分为0.

追问

图形是个菱形，四个象限所占的面积都一样，所以我只求第一象限的双重积分，所以前面要乘个四倍

追答

区域没问题，但问题是被积函数不具有对称性。
这样给你讲吧：二重积分可以计算体积，如果底面是单位圆，你能不管曲顶的形状，直接计算4倍吗？
还补充点：
这题的意图看来是用代换：x+y=u,x-y=v，计算J, 即二重积分的变量替换公式。

追问

什么样的被积函数可以不管曲顶形状直接乘以4倍?

追答

曲顶形状就是被积函数在空间上的图形：z=f(x,y)

Answer 3

不会

Answer 4

我不会

Answer 5

不知道啊