Question

在线等！已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x／e^x-2／e

（1）求函数f（x）在区间[1，3]上的最小值
2）证明对任意m，n{ -（0，+oo），都有f（m）＞=g（n）成立

Answer 1

f（x）=xlnx

f（x）=xlnx的导数为lnx+1 在区间[1，3]恒大于0

所以f（x）=xlnx 在区间[1，3]单调递增
最小值为f(1)=1
（2）
f'(x)=1+lnx 故f在（负无穷，1/e）递减，在（1/e，正无穷）递增。即f(1/e）=-1/e是f的最小值。
另一方面，g'(x)=e^(-x)*(1-x)，故同理g(1)=-1/e是g的最大值。
即 f(m)>=-1/e, g(n)<=-1/e 故有f(m)>=g(n)

Answer 2

f'(x)=1+lnx 故f(x)在（负无穷，1/e）递减，
在（1/e，正无穷）递增。
即在[1,3]递增
即f(1）=0是f(x)的最小值。

g'(x)=e^(-x)*(1-x)，故同理g(1)=-1/e是g(x)的最大值。
即 f(m)>=-1/e, g(n)<=-1/e 故有f(m)>=g(n)

Answer 3

（1）对f（x）求导，为（lnx+1），在[1,3]内恒大于0，即单增，可知，f（x）在x=1处取得最小值，为0；
（2）你那个条件怎么回事啊，请再确定一下！

Answer 4

(1)
f'(x)=1+lnx.令f'(x)=0得x=1/e,
故f在（0，1/e）递减，在（1/e，+∞）递增。
所以f(x)在区间[1，3]单调递增

最小值为f(1)=1.
（2）由(1)知f(1/e）=-1/e是f的最小值。
又g'(x)=(1-x)/e^x，g在（0,1）是增函数，在(1,+∞)是减函数，所以g(1)=-1/e是g的最大值。
所以对任意的m,n属于（0，+oo，有f(m)>=f(1/e）=-1/e=g(1)>=g(n).