Question

问题，函数y=xcosx在（-∞，+∞）内是否有界？这个函数是否为x→+∞时的无穷大？为什么

求高手帮忙解决第二问，帮我分析一下答案，答案是：因为反写A M>0,X>0,总有x0∈(X,+∞),使cosx0=0，从而y=x0cosx0=0<M，所以y=f（x）=xcosx不是当x→+∞时的无穷大。
我想不明白的是为什么，使cosx0=0，还有最后那句话是因为0<M所以y=f（x）=xcosx不是当x→+∞时的无穷大吗？

Answer 1

x→＋∞时，f(x)是无穷大的定义是：对于任意大的正数M，存在正数X，对于任意的x＞X，恒有|f(x)|＞M。
分析：x很大时，始终存在使得cosx=0的x，所以|f(x)|＞M不可能恒成立。
把无穷大的定义否定，得到“不是无穷大”的定义：存在正数M，对于任意的正数X，存在x＞X，但是|f(x)|≤M。
过程：
对于正数M=1，不管正数X多大，存在正整数n，使得nπ+π/2＞X，但|f(nπ+π/2)|=0＜1。所以f(x)=xcosx不是x→＋∞时的无穷大。

－－－－－－－－
一般对于无界、无穷大可以使用函数极限与数列极限的关系来说明：如果存在数列Xn，使得f(Xn)是无穷大，则f(x)无界。如果存在数列yn，使得f(yn)的极限有限，则f(x)不是无穷大。

追问

为什么|f(nπ+π/2)|=0，是因为y=x0cosx0=0吗，还有nπ+π/2是怎么出来的？，谢谢你

追答

这时候cosx=0嘛。
x→∞的过程中，有无穷多个x使得cosx=0，f(x)=0。不管x多大。这样的x总是存在的，找一个就是了

Answer 2

因为cos(kπ+1/2π)始终为0，导致xcosx 当x趋向正无穷时会经常变为0，也就是函数不单调