Question

已知直角三角形的一边为11，求周长。

各位高手，帮帮小弟。以下是选项：
A 132
B 121
C 120
D 111
E 123
其他两边是自然数
(需过程)
我有一种方法，不知是否合适，请各位高手指点迷津：
设直角边为X，斜边为（X+1）则：X^2+11^2=(X+1)^2
解得：X=60 X+1=61
C=132

Answer 1

答案是唯一的，选A，理由如下：
解：三边均为正整数的直角三角形的勾股关系式是：
（m^2-n^2）^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2
其中m、n∈Z+，且m≠n。
2mn和m^2+n^2不可能为11,只有m^2-n^2才有可能为11，也就是说11只能作为直角边，不能作为斜边。
则n^2=m^2-11
依次取m=4、5、6，因为当m超过6时，(m+1)^2-m^2的差值就会超过11，之后会差值会越来越大，不可能再有让n为正整数的m值可取了。
所以只能是6^2-5^2=11这一种情况了，
于是m=6，n=5，则此直角三角形为：
11^2+60^2=61^2
所以三角周长为:11+60+61=132，选A。

____顺便说一下，如今的自然数集包括零！其他两边是自然数，这种说法不严密，只能说是正整数！
若m、n均为正整数，则m^2+n^2≠11，取m从1到4即可得知！
____这题有很多投机因数，完全证明，我不懂，数论知识我觉得挺难的！想想那费什么马大定理就无语了！但是若限于本题，我的解法逻辑还是没有露洞的，楼主放心！

Answer 2

按照你给出的选项，应该还有个条件：三边长都是整数。
答案选A 132

若11是直角边，则a^2+11^2=c^2
即有(c+a)(c-a)=121=121*1=11*11
可见，只有c+a=121，c-a=1，解得c=61，a=60
所以周长为11+60+61=132

若11是斜边，则a^2+b^2=11^2=121，这个方程没有正整数解，因为：
易知a、b一奇一偶，不妨设a为偶数，用2，4，6，8，10分别代入可知，b无整数解。

Answer 3

应该各边是整数吧
设斜边为X，另一直角边为Y，则
X^2-Y^2=121
(X+Y)(X-Y)=121=11*11=121*1
因为 X+Y 和X-Y不可能相等，所以只有
X+Y=121
X-Y=1
则X=61 Y=60
周长为121+11＝132
答案为A

Answer 4

设三边边长分别为a、b、c， a、b、c ∈N,且a，b＜c

20以内的自然数且满足勾股定理的只有两组：
3*3 + 4*4 ＝ 5*5
5*5 + 12*12 ＝ 13*13

所以边长为11的那条边一定是一条直角边。令a＝11

有：c*c - b*b ＝11*11
（c + b）（c - b）＝11*11

换言之，（c - b）一定能整除121，
∴（c - b）＝1 或 （c - b）＝11

若（c - b）＝11，则（c + b）＝11
解得 c＝11，b＝0，与题意不符，舍去。

∴（c - b）＝1，解得 c＝61，b＝60

周长＝61 + 60 + 11 ＝ 132

【解毕】

Answer 5

（A）啊！看答案中啊！都是100以上的很明显11只能是直角边啊！除去11另两边这和也是100以上吧！除以2也是50以上。而11的平方是121要加一个数而成另一个数的平方。则这两个数一定相差不多，不是差1就是2。末位1加多少的平方是呢？加1不行。加2的平方4可以得5，42很明显不行，52、11、55这组数中不用算之和答案中没有108，62、11、65不行。加3的平方9可以但3和0差得太大相差7了。加4的16平方不行。加5的平方25也不行，36也不行。7好像行，47一定不行，57、11、60得118也没有。67、11、70不行吧！8的平方64可以得5平方但相差了7也不行。9的平方81不行吧！0就只有0了。51、11、51这和答案中没有，60、11、61得132。算一算是不是成立啊！