Question

收敛数列与其子数列之间的关系

设数列{Xnk}是数列{Xn}的任一子数列
由于{Xn}的极限是a,所以任意ε>,0,，存在正整数N，当n>N时|Xn-a|<ε成立
取K=N，则当k<K 时，nk>nK=nN>=N于是|Xnk-a|<ε,这就证明了Xnk的极限是a

我想问的是，取K=N，则当k<K 时，nk>nK=nN>=N于是|Xnk-a|<ε,中符号好多啊，看得我迷迷糊糊的，求高手讲解！还有就是设这些符号有什么意义么？

Answer 1

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Answer 2

子列{Xnk}的下标nk(k是n的下标)一方面代表原数列{Xn}的第nk项，另一方面也表示子列的第k项。我们需要找到正整数K，使得k＞K时，恒有|Xnk-a|＜ε成立。既然Xnk还是{Xn}的第nk项，所以事先我们就知道存在正整数N，只要nk＞N就会有|Xnk-a|＜ε。那么只要能够保证k＞K时nk＞N也成立不就得到|Xnk-a|＜ε了嘛。
根据子列的项的选择方法，nk≥k，所以k＞K时，nk＞nK≥K，那么让K≥N即可。所以选择正整数K≥N，当k＞K时，有nk＞N，所以|Xnk-a|＜ε。