Question

求数列Sn=1+1/2+1/3+1/4+…+1/n 的前n项和

Answer 1

Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：

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　　1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)

　　他的证明是这样的：

　　根据Newton的幂级数有：

　　ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...

　　于是：

　　1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...

　　代入x=1,2,...,n，就给出：

　　1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...

　　1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...

　　......

　　1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...

　　相加，就得到：

　　1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ......

　　后面那一串和都是收敛的，我们可以定义

　　1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r

　　Euler近似地计算了r的值，约为0.5772156649。这个数字就是后来称作的欧拉常数。不过遗憾的是，我们对这个常量还知之甚少，连这个数是有理数还是无理数都还是个谜。

Answer 2

# include<stdio.h>
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
double sum=0.0;
for(int i=0;i<=n;i++)
{
sum+=1.0/n;
}
printf("%.10lf\n",sum);
}
return (0);
}

Answer 3

这是调和级数，没有精确求和公式