Question

复合函数极限运算法则里的条件

这个

一定要存在么？
下面的这个例子不是太懂，

这是x*sin(1/x)的图像，

那么当x->0的时候，就有两种情况：
当x=1/nπ时，g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0
当当x不等于1/nπ时，g(x)不等于0，但是趋近于0，于是lim(x->0) f(g(x))=1
两种情况的极限不等，所以原极限不存在

对比着上面的定理，意思是不是：
1） 所以如果的等号成立，
x0=1/nπ，那么g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0；

2） 但是如果等号不成立，
x不等于1/nπ时，g(x)不等于0，但是趋近于0，于是lim(x->0) f(g(x))=1

所以综合一下，只有增加这个条件以后，lim(x->0) f(g(x))=1
是这个意思么？





Answer 1

梳理如下：
第一个问题：一定要有条件“ψ(x)≠u0”。
例①，ψ(x)=1 (x∈R)，
f(u)为分段函数：当u≠1时，f(u)=u；当u=1时，f(u)=2，
取x0=1，则u0=1，【ψ(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=A，lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2，2≠1，
即lim(x→1)f(ψ(x))≠A，即定理1的结论不成立。

第二个问题：关于例子x*sin(1/x)，
首先，这个函数是由两个函数的乘积构成的：f(x)= x，g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x)，
而不是由两个函数的复合构成的。
仅从这一点来说，把这个例子用在这里并不合适。
不过，这其中的第二个函数sin(1/x)是由两个函数的复合构成的：ψ(x)=1/x，f(u)=sinu。
其次，函数x*sin(1/x)当x→0时的极限确定是0，这是因为一个无穷小量乘以一个有界量还是无穷小量。
这个也可以通过x*sin(1/x)的图像来理解。
所以，关于例子x*sin(1/x)，无论你取 x等于或不等于1/nπ，只要x→0，它的极限就是0。
对此，原问题中的陈述不正确。
从这一点来说，把这个例子用在这里也不合适。
合适的例子是上面的例①。

第三个问题：细化一下，
在定理1中是说，“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”，
也就是说，是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以。
例如，ψ(x)=sinx (x∈R)，
取x0=0，则u0=0，
【ψ(x)≠u0在x0的某去心邻域内成立，比如在去心邻域（-1/2π，1/2π）成立】
【而在x0的以远，比如在去心邻域（-2π，2π），ψ(x)≠u0就不成立】
这种情况属于符合定理1中的条件“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”。
如果不存在这样的邻域，则就不符合条件。

Answer 2

你根本也没有说明白你的f(x)和g(x)是什么？总之你说的不对；对于x*sin(1/x)它的极限就是0，无论你取 x等于或不等于1/nπ时
下面我就给你解释一下为什么要强调ψ(x)≠0,
其实是为了强调ψ(x)不能恒等于u0，否则会出现
如ψ(x)=1 (x∈R),f(x)=2 x=1 ; f(x)为分段函数 则显然lim x→0ψ(x)=1,lim x→0f(ψ(x))=2
=x x≠1 但是lim u→1 f(u)=1≠ lim x→0f(ψ(x))
只要不恒等于u0就可以
如ψ(x)=sin(x),设u0=0,这个就符合这个法则的条件，虽然在（-2π，2π）的去心邻域中存在ψ(x)=u0的点，看似与定义相悖，但是我们可以找到更小的去心邻域如（-1/2π，1/2π）,这就不存在ψ(x)=u0的点，再往深里考虑，对于x0这点只要能够找到一段很小的邻域没有ψ(x)=u0，就符合条件。
同理如果我们能够找到一段x0的去心邻域，ψ(x)恒等于u0，则就不符合条件。

Answer 3

x*sin(1/x)
当x不等于1/nπ时，x趋近于0时，此函数的极限并不是1，还是0，因为一个无穷向量乘以一个有界量还是无穷小量
我想，你肯定是把x*sin(1/x)和（sinx）/x搞混淆啦，前者是x趋于无穷大的极限是1，而后者是x趋于0的极限是1

Answer 4

我想这个问题也想了很久，我的看法是这个条件是这个定理的必要条件，没有这个条件这个定理是不成立的，就比如上面那个举出来的分段函数的反例。这个定理其实关心的是在U0附近的复合函数的取值，至于g（x）=U0时，复合函数的取值则不是这个定理所关心的，因为f（x）可以在这一点连续，不连续，甚至还可以没有意义，这就导致了复合函数在该点需要另外分析。