Question

如图,已知P为∠AOB平分线OP上一点,PC⊥OA于C,∠OAP+∠OBP=180°,求证:AO+BO=2OC

本人在线等，八年级上学期的题，各位速度帮忙啊……

Answer 1

以P为顶点做PF垂直于OB延长线,因为P分∠AOB,所以∠POF=∠POC
又因为∠PCO=∠PFO,且PO为公共边
所以POC全等于PFC,所以PC=PF,
因为∠OAP+∠OBP=180°,又因为∠OAP+∠PBF也=180,所以∠OBP=∠PBF
此时得ACP全等于BFP
综上,有BF=AC,OF=OC,
所以AO+BO=2OC
全手打,望采纳.

Answer 2

作辅助线过P作PQ⊥OB于Q
因为,∠OAP+∠OBP=180°
所以∠OBP+∠A=180°
所以∠PBQ=∠A
又因为∠PQO=∠PCO=90°，∠COP=∠QOP，OP=OP
所以△PCO全等于△PQO
所以QO=CO，PQ=PC
所以△PQB全等于△PCA
所以BQ=AC
所以AO+BO=OC+QC=2OC

追问

为什么“因为,∠OAP+∠OBP=180°
　　　所以∠OBP+∠A=180°”
能得出“所以∠PBQ=∠A”？

追答

第一个：四边形内角和=360°，或者两个三角形的内角和360°
第二个：∠OBP+∠PBQ=180°，∠OBP+∠A=180°所以∠PBQ=∠A

Answer 3

证明：过点P作PD⊥OB交OB的延长线于D
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB
∴PC＝PD，OC＝OD （角平分线性质），∠PCA＝∠PDB＝90
∵∠OAP+∠OBP=180，∠PBD+∠OBP=180
∴∠OAP＝∠PBD
∴△APC≌△BPD （AAS）
∴AC＝BD
∵OC＝AO-AC，OD＝BO+BD
∴OC+OD＝AO-AC+BO+BD
∴2OC＝AO+BO