Question

设球面∑:x^2+y^2+z^2=1,则曲面积分∫∫(x+y+z+1)^2dS=

Answer 1

解：∵x²+y²+z²=1 ==>z=±√(1-x²-y²)
令S1：z=√(1-x²-y²)，S2：z=-√(1-x²-y²)。则S1和S2在xoy平面上的投影都是圆S：x²+y²=1
∴球面∑=S1+S2
∵αz/αx=±(-x/√(1-x²-y²))，αz/αy=±(-y/√(1-x²-y²))
∴dS=√(1+(αz/αx)²+(αz/αx)²)dxdy=dxdy/√(1-x²-y²)
故∫∫<∑>(x+y+z+1)²dS=∫∫<S1>(x+y+z+1)²dS+∫∫<S2>(x+y+z+1)²dS
=∫∫<S>(x+y+√(1-x²-y²)+1)²dxdy/√(1-x²-y²)+∫∫<S>(x+y-√(1-x²-y²)+1)²dxdy/√(1-x²-y²)
=∫∫<S>[(x+y+√(1-x²-y²)+1)²+(x+y-√(1-x²-y²)+1)²]dxdy/√(1-x²-y²)
=4∫∫<S>(xy+x+y+1)dxdy/√(1-x²-y²)
=4∫<0,2π>dθ∫<0,1>[r²sinθcosθ+r(sinθ+cosθ)+1]rdr/√(1-r²) (作极坐标变换)
=4∫<0,2π>[sin(2θ)/3+π(sinθ+cosθ)/4+1]dθ (中间运算省约)
=4*(2π)
=8π。

Answer 2

用曲面方程来化简被积函数
∫∫(x+y+z+1)^2dS

=∫∫1dS
被积函数为1，积分结果为曲面面积，也就是一个球面面积4πR²，本题结果为4π

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

追问

π其实答案是8π。。。

追答

你没看我写的评论吗？