Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，（1）求证：OE⊥面ACD1

(2)求证AD1与平面BDD1B1所成角的余弦值 急求！！！详细！！！

Answer 1

证明：
在正方体中，
DD'⊥平面ABCD
∴DD'⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD
∴AC⊥平面BDD'B'
因此，AC⊥OE
设正方体的边长为2，
∴DO=BO=√2,BE=EB'=1
∴D'O=√6,OE=√3,D'E=3
即是D'E²=D'O²+OE²
∴∠EOD'=90º,
即是OE⊥D'O
又OE⊥AC
∴OE⊥平面ACD'

2，由于AC⊥平面BDD'B'
∴∠AD'O就是AD'和平面BDD'B'所成的夹角
cos∠AD'O=D'O/AD'
D'O=√6，AD=2√2
∴cos∠AD'O=√6/(2√2)=√3/2
因此，AD1与平面BDD1B1所成角的余弦值就是√3/2.