Question

函数的极限（求高手帮帮菜鸟）

为什么说，必须“存在”正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的 函数值都满足不等式|f(x)-A|<ε
为什么是“存在”而不像ε一样是任意的呢？
而且为什么f(x)要在点x0的某一去心邻域有定义呢？任意的x 不行吗？

Answer 1

这和什么是函数的极限密切相关
首先对函数极限定义的解释为：
lim(x→x0) f(x)=a
则，当x在x0的某个邻域（附近）时，
就有函数值f(x)与数a充分接近（接近到基本上就可以说他们是相等的的程度）
那么称，a为函数f(x)在x趋于x0的极限

一旦存在改为任意，对于没有精细限制的x来说，就只能有x=x0了
那么，定义立即变为：
只有当x=x0时，才有f(x)=a
那么，这个极限的定义就有问题了：

首先，函数f(x)在x0处不一定有定义，那么就更不要说等于a了
其次，这并不能体现（或刻画）极限的特点与性质
再者，这样来定义极限，其实有很大程度上与事实不符合

而如果f(x)要在点x0的某一去心邻域无定义，
那么函数在x0处就断开了，这样连极限都可能不存在
而如果不对x加以限制，就体现不了x→x0

有不懂欢迎追问

Answer 2

1. 这个是函数在某一个点的极限，ε是表示较小的正数，ε的任意性刻画的函数f(x)与A的接近程度。

2. 0<|x-x0|<δ表示，f(x)在一点的极限与在这一点是否有定义并没有关系，函数在某一点没有定义，它的极限仍有可能存在。

3. δ是根据ε确定的，f(x)的极限值是位于（A-ε,A+ε)这个区间里面的，这是两条与X轴平行的直线，肯定会与函数f(x)有两个交点，在这两个交点做与Y轴平行的直线交于X轴，则在X轴会有一个小的邻域，所以只要找到一个δ在这个邻域里就可以了。