Question

已知函数f(x)=x²/x²+1，设f(n)=an(n∈N+)(1)求证：an>1（2）{an}是递增数列还是递减数列

已知函数f(x)=x²/x²+1，设f(n)=an(n∈N+)(1)求证：an>1（2）{an}是递增数列还是递减数列

Answer 1

同学你好，你这个题目有点错误先纠正下：应该改为证明an<1
已知函数f(x)=x²/x²+1，设f(n)=an(n∈N+)(1)求证：an<1（2）{an}是递增数列还是递减数列
(1)证明：
y=f(x)=x^2/(x^2+1)
即x^2y+y-x^2=0
x^2(y-1)+y=0
因为函数的定义域为R
则这个关于x的一元二次方程必有实数根：
即必有判别式=0-4y(y-1)>=0
则y(y-1)<=0
所以0<=y<=1
显然当x=0时，y=0
而无论x取何值时y均不为0
所以值域为0<=y<1
对一切x而言y都小于0
那么数列f(n)=an<0

(2)利用函数的单调性来证明：
设x2>x1
则f(x2)-f(x1)
=x2^2/(x2^2+1)-x1^2/(x1^2+1)
=(x1+x2)(x2-x1)/[(x1^2+1)(x2^2+1)]>0
则函数单调递增。
所以函数为增函数
对一切实数x而言，都是增函数，
那么数列必为增数列。

Answer 2

最好用函数法解。数列是特殊的函数，是离散型函数。
f(x)=x²/(x²+1）=1-1/(x^2+1)
对任意实数x,1/(x^2+1)>0
有f(x)<1
又f(n)=an(n∈N+)
所以an=f(n)<1

对任意正实数x>0,
x^2+1>0且为增函数，
1/(x^2+1)为减函数，
-1/(x^2+1)为增函数，
f(x)=1-1/(x^2+1)为增函数
因为n>0
所以an=f(n)是递增数列。