Question

在园O中，AB是直径P是AB上一点，过点P作弦MN，角NPB＝45度（1）若AP＝2，BP＝6求MN的长（2）如果MP＝3...

在园O中，AB是直径P是AB上一点，过点P作弦MN，角NPB＝45度（1）若AP＝2，BP＝6求MN的长（2）如果MP＝3，NP＝5求AB的长（3）如果园O的半径是R求PM的平方＋PN的平方的值

Answer 1

1 因直径AB=AP+BP=2+6=8，所以半径OA=8/2=4，OP=OA-AP=4-2=2.又角MPB=45度，故作OH垂直MN，垂足为H，三角形OHP是等腰直角三角形。OH=HP，而OH^2+PH^2=OP^2,所以，OH=PH=OP/(根号2)=根号2.再，过圆心的垂直弦平分弦，故MH=NH，连接OM，在直角三角形OHM中，利用勾股定理，MH^2=MO^2-OH^2=4^2-(根号2)^2=14,MH=根号14,因此，MP=根号14-根号2，NP=根号14+根号2，MN=2根号14.2 若MP=3，NP=5，那么，MN=3+5=8，MH=8/2=4，PH=1.由于三角形OHP是等腰直角三角形，OH=HP=1，在直角三角形MHO中利用勾股定理，OM^2=OH^2+MH^2=1+4^2=17,所以，OM=根号17，直径AB=2根号17.
3 因MH=NH，OH=HP，OH垂直MN，那么PM^2+PN^2=(MH-HP)^2+(PH+HN)^2=(MH-HP)^2+(MH+HP)^2=2(MH^2+HP^2)=2(MH^2+HO^2)=2OM^2所以，(PM^2+PN^2)/AB^2=2OM^2/(2OM)^2=1/2.可见，P变化时，比值不变，总为1/2.