Question

如图,A.B两点的坐标分别为(-3,0).(0,4),抛物线y=2/3x2+bx+c经过B点，且顶点在直线x=5/2上

1.求解析式
2.若三角形DCE是三角形ABO沿X轴向右平移得到，当四边形ABCD为菱形，请判断点C，D是否在抛物线上
3，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过M做MN平行于y轴交CD于N，设动点M的横坐标为t，MN长l，求l于t的函数关系式，当l最大时，点M的坐标

Answer 1

1，把B点坐标带入y=2/3x2+bx+c 可得C=4
抛物线y=2/3x2+bx+c 它的对称轴是X=-3B/4，且顶点在直线x=5/2上 所以5/2=-3B/4，
B=-10/3 抛物线y=2/3x2-10/3x+4
2，有题意可知D点坐标为（2,0),C点坐标为(5,4)
带入 抛物线y=2/3x2-10/3x+4可知点D,C均在抛物线y=2/3x2-10/3x+4上
3，有题意可知M点的横坐标T的范围是2＜T＜5
D点坐标为（2,0),C点坐标为(5,4),可得CD 的方程式是Y=4/3X-8/3
MN长l=4/3t-8/3-2/3t²＋10/3t－4 整理得L=-2/3T²＋14/3T-20/3
由L=-2/3T²＋14/3T-20/3可知它是一个开口向下的抛物线，且对称轴是T=7/2，当T=7/2时L值最大
又有对称轴T=7/2在M点的横坐标T的范围是2＜T＜5
所以M得横坐标是T=7/2，带入y=2/3x2-10/3x+4可求出M的纵坐标y=1/2
得M的坐标是（7/2,1/2）

Answer 2

1. 抛物线对称轴x=-b/(2a)=-b/(4/3)=-3b/4
∴-3b/4=5/2
∴b=-10/3
又抛物线y=(2/3)x²+bx+c经过B点
∴c=4
∴抛物线的解析式为y=(2/3)x²-(10/3)x+4

2. 若ABCD为菱形, 则
AB=BC=AD
又AB=√(OA²+OB²)=√(3²+4²)=5
∴BC=5
AD=5
∴OD=AD-OA=2
CE=OB=4
∴C点坐标为(5,4), D点坐标为(2,0)
将x=5, x=2分别代入y=(2/3)x²-(10/3)x+4
得y=(2/3)*5²-(10/3)*5+4=4
y=(2/3)*2²-(10/3)*2+4=0
∴C, D在抛物线上

3. CD所在直线的方程为(y-0)/(4-0)=(x-2)/(5-2)
即4x-3y-8=0
M的横坐标为t, 则M的纵坐标为
y(M)=(2/3)t²-(10/3)t+4
N的横坐标为t, 则N的纵坐标为
y(N)=(4t-8)/3
∴l=y(N)-y(M)=(4t-8)/3-[(2/3)t²-(10/3)t+4]=-(2/3)t²+(14/3)t-20/3
l在t=(14/3)/[2*(2/3)]=7/2时取最大值
∵2<7/2<5
∴t=7/2可以取到, 此时l取最大值
y(M)=(2/3)t²-(10/3)t+4=(2/3)*(7/2)²-(10/3)*(7/2)+4=1/2
∴M的坐标为(7/2, 1/2)