Question

已知数列{an}满足an+1=an+(2n+1)2^n,a1=1求数列{an}的通项公式

Answer 1

解：
a(n+1)=an+(2n+1)×2ⁿ=n×2^(n+1)+2ⁿ
a(n+1)-an=n×2^(n+1)+2ⁿ
an-a(n-1)=(n-1)×2ⁿ+2^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=(n-2)×2^(n-1)+2^(n-2)
…………
a2-a1=1×2²+2
累加
an-a1=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ+ 2+2²+...+2^(n-1)
令Cn=1×2²+2×2³+...+(n-1)×2ⁿ
则2Cn=1×2³+2×2⁴+...+(n-2)×2ⁿ+(n-1)×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2²+2³+...+2ⁿ -(n-1)×2^(n+1)
Cn=(n-1)×2^(n+1)-(2²+2³+...+2ⁿ)

an-a1=Cn+2+2²+...+2^(n-1)
=(n-1)×2^(n+1) -(2²+2³+...+2ⁿ)+2+2²+...+2^(n-1)
=(n-1)×2^(n+1) +2 -2ⁿ
=(2n-3)×2ⁿ+2
an=a1+(2n-3)×2ⁿ+2=(2n-3)×2ⁿ+2+1=(2n-3)×2ⁿ+3
n=1时，a1=(2-3)×2+3=-2+3=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=(2n-3)×2ⁿ+3。