Question

如图,A.B两点的坐标分别为(-3,0).(0,4),抛物线y=2/3x2+bx+c经过B点,且顶点在直线x=5/2上

1,。抛物线解析式
2.若三角形DCE是三角形ABO沿X轴向右平移得到，当四边形ABCD为菱形时，点C，D是否在抛物线上
3.若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过M做MN平行y轴交CD于N，设M点的横坐标为t，MN长为l，求l与t的关系式，当l最大时，点M的坐标

Answer 1

1）)把(0,4)代入抛物线y=2/3x2+bx+c，得c=0;
∵顶点在直线x=5/2上，∴b/[-2*(2/3)]=5/2，解得b=-10/3
∴解析式为y=2/3x²-10/3X+4

2）∵菱形，∴BC=AD=AB=5,
∴点C（4,5），点D（2,0）
代入y=2/3x²-10/3X+4，等式成立，
∴点C、D在抛物线上；

3）∵D（2,0）、C（5,4），∴CD解析式为y=4/3x-8/3
设点M(X，2/3x²-10/3X+4)，则点N（x，4/3x-8/3）
∴MN=4/3x-8/3-(2/3x²-10/3X+4)
=-2/3x²-14/3X-20/3
当x=7/2时，MN最大值=3/2

Answer 2

1. 抛物线对称轴x=-b/(2a)=-b/(4/3)=-3b/4
∴-3b/4=5/2
∴b=-10/3
又抛物线y=(2/3)x²+bx+c经过B点
∴c=4
∴抛物线的解析式为y=(2/3)x²-(10/3)x+4

2. 若ABCD为菱形, 则
AB=BC=AD
又AB=√(OA²+OB²)=√(3²+4²)=5
∴BC=5
AD=5
∴OD=AD-OA=2
CE=OB=4
∴C点坐标为(5,4), D点坐标为(2,0)
将x=5, x=2分别代入y=(2/3)x²-(10/3)x+4
得y=(2/3)*5²-(10/3)*5+4=4
y=(2/3)*2²-(10/3)*2+4=0
∴C, D在抛物线上

3. CD所在直线的方程为(y-0)/(4-0)=(x-2)/(5-2)
即4x-3y-8=0
M的横坐标为t, 则M的纵坐标为
y(M)=(2/3)t²-(10/3)t+4
N的横坐标为t, 则N的纵坐标为
y(N)=(4t-8)/3
∴l=y(N)-y(M)=(4t-8)/3-[(2/3)t²-(10/3)t+4]=-(2/3)t²+(14/3)t-20/3
l在t=(14/3)/[2*(2/3)]=7/2时取最大值
∵2<7/2<5
∴t=7/2可以取到, 此时l取最大值
y(M)=(2/3)t²-(10/3)t+4=(2/3)*(7/2)²-(10/3)*(7/2)+4=1/2
∴M的坐标为(7/2, 1/2)