Question

求函数f（x）=x²-2ax-1在区间【0,2】上的最大值和最小值

请各位帮忙了，不胜受恩感激。

Answer 1

f(x)=x²-2ax-1=x²-2ax+a²-(a²+1)=(x-a)²-(a²+1)
对称轴x=a，二次项系数1>0，函数图像开口向上。
(1)
a≤0时，区间在对称轴右侧，函数单调递增。
x=2时，f(x)有最大值[f(x)]max=4-4a-1=3-4a
x=0时，f(x)有最小值[f(x)]min=0-0-1=-1
(2)
a≥2时，区间在对称轴左侧，函数单调递减。
x=0时，f(x)有最大值[f(x)]max=0-0-1=-1
x=2时，f(x)有最小值[f(x)]min=4-4a-1=3-4a

0<a<2时，对称轴在区间上。当x=a时，函数有最小值[f(x)]min=-a²-1
对于最大值，需要进一步讨论：
(3)
0<a<1时，-1<3-4a<3
x=2时，f(x)有最大值[f(x)]max=4-4a-1=3-4a
(4)
a=1时，3-4a=-1
x=0或x=2时，f(x)有最大值[f(x)]max=4-4a-1=3-4a
(5)
1<a<2时，3-4a<-1
x=0时，f(x)有最大值[f(x)]max=0-0-1=-1。

Answer 2

1.首先求导：f‘(x)=2x-2a
2.然后令f'(x)=0 继而求的x=a
3.当a=0；f(x)的最大值为3，最小值-1。
当a<o；f(x)在区间【0，2】上单调递增，所以最小值为f(0)=-1，最大值为f(2)=4-4a-1。
当a>0；f(x)在区间【0,2】上单调递减，所以最小值为f(2)=4-4a-1，最大值为f(0)=-1。