Question

想请大家帮忙算一下这个题，过程详细点哈，谢谢。∫｛0到正无穷｝2x乘以e^-x dx 即2x乘以e的负x次方

能否顺便指教一下这种后面是：一个数（5x）与e的次方相乘的题怎么算啊？非常感谢~·~

Answer 1

∫(0→+∞)2xe^(-x)dx=2∫(0→+∞)xe^(-x)dx
=-2∫(0→+∞)xde^(-x)
=-2[xe^(-x){0→+∞}-∫(0→+∞)e^(-x)dx]
=-2[xe^(-x){0→+∞}+∫(0→+∞)e^(-x)d(-x)] (其中xe^(-x){0→+∞}=0）
=-2∫(0→+∞)e^(-x)d(-x)]
=-2e^(-x)){0→+∞}=2
一个数与e的次方相乘的题是把e的次方凑回去采用分部积分法求解，比如5x就是把上述过程中的
2换成5然后求解即可

追问

有个地方俺不太明白，∫(0→+∞)2xe^(-x)dx=-2[xe^(-x){0→+∞} -- ∫(0→+∞)e^(-x)dx] 这里中间为什么用减号呢？而不是加号呢？谢谢

追答

这是分部积分法的原理，设两个函数分别为u（x）,v(x)，则根据导数法则
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x）+u(x)v'(x)，得u(x)v'(x)=[u(x)v(x)]'-u'(x)v(x）
两边同时取不定积分
∫u(x)v'(x)dx=∫[u(x)v(x)]'dx-∫u'(x)v(x）dx,而∫[u(x)v(x)]'dx=u(x)v(x)
所以有∫u(x)v'(x)dx=u（x)v(x)-∫u'(x)v(x）dx
所以分部积分法中间用的就是减号而非加号

追问

这个地方我基本看明白了，非常感谢。再麻烦一下哈，如果我把这里的2x^2，即为：∫(0→+∞)2x^2 e^(-x)dx 这样的话该怎么计算呢？俺快考试了，还是搞不懂这一块，谢谢指教~~~

追答

那依然用分部积分法把e^(-x)凑回去两次用分部积分法
即∫(0→+∞)2x^2 e^(-x)dx =-2∫(0→+∞)x^2 de^(-x)
=-2[(x^2)e^(-x){0→+∞}- ∫(0→+∞)e^(-x)dx^2]
=-2[(x^2)e^(-x){0→+∞}- ∫(0→+∞)e^(-x)2xdx]
=-2[- ∫(0→+∞)e^(-x)2xdx]=4∫(0→+∞)e^(-x)xdx
=-4∫(0→+∞)xde^(-x)
=-4[xe^(-x){0→+∞}-∫(0→+∞)e^(-x)dx]
=-4∫(0→+∞)e^(-x)d(-x)=-4e^(-x){0→+∞}=4
若x的次数为n就要n次分部积分，方法没什么，关键得有耐心算下去