Question

证明：当x在（0,1）时，（1+x）ln平方（1+x）小于x的平方

Answer 1

设f(x)=(1+x)ln²(1+x)-x²，则f(0)=0
f '(x)=ln²(1+x) + 2(1+x)ln(1+x)/(1+x) - 2x
=ln²(1+x) + 2ln(1+x) - 2x，f '(0)=0
f ''(x)=2ln(1+x)/(1+x) + 2/(1+x) - 2，f ''(0)=0
f '''(x)=[2-2ln(1+x)]/(1+x)² - 2/(1+x)²
=-2ln(1+x)/(1+x)²<0
因此：f ''(x)为减函数，则在(0,1)内f ''(x)<f ''(0)=0
因此：f '(x)为减函数，则在(0,1)内 f '(x)<f '(0)=0
因此：f(x)为减函数，则在(0,1)内 f(x)<f(0)=0
即：(1+x)ln²(1+x)<x²

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Answer 2

用单调性来做。