Question

√【(x+c)²+y²】 + √【(x-c)²+y²】=2a

Answer 1

√【(x+c)²+y²】 + √【(x-c)²+y²】=2a (1)

用有理化因子
√【(x+c)²+y²】 - √【(x-c)²+y²】

(√【(x+c)²+y²】 + √【(x-c)²+y²】) (√【(x+c)²+y²】 - √【(x-c)²+y²】)
=2a(√【(x+c)²+y²】 - √【(x-c)²+y²】)

【(x+c)²+y²】-【(x-c)²+y²】=2a(√【(x+c)²+y²】 - √【(x-c)²+y²】)

4cx=2a(√【(x+c)²+y²】 - √【(x-c)²+y²】)

(√【(x+c)²+y²】 - √【(x-c)²+y²】)=2cx/a (2)

(1)+(2)
2√【(x+c)²+y²】=2a+2cx/a

√【(x+c)²+y²】=a+cx/a

两边平方

(x+c)²+y²=(a+cx/a)^2

x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+c^2x^2/a^2
y^2=((c^2/a^2)-1)x^2+a^2-c^2
y=±根号[((c^2/a^2)-1)x^2+a^2-c^2]

Answer 2

√【(x+c)²+y²】 = 2a-√【(x-c)²+y²】
(x+c)²+y² = 4a²＋(x-c)²+y²-4a√[(x-c)²+y²]
4cx-4a²=-4a√[(x-c)²+y²]
a²－cx=a√[(x-c)²+y²]
﹙a²﹚²－2a²cx＋c²x²=a²[(x²＋c²-2cx)+y²]
﹙a²﹚²－2a²cx＋c²x²=a²x²＋a²c²-2a²cx+a²y²
﹙a²－c²﹚x²＋a²y²=a²﹙a²－c²﹚
令a²－c²=b²，则
b²x²＋a²y²=a²b²
x²／a²＋y²／b²=1

Answer 3

此方程表示中心在原点，焦点为（正负c,0)，长轴长为2a的椭圆。