Question

如图①在△ABC中AB=AC,∠BAC=90°,D为BC上一动点,连接AD以AD为一边且在AD的右侧做正方形ADEF 好的在给50

如图①在△ABC中AB=AC,∠BAC=90°,D为BC上一动点,连接AD以AD为一边且在AD的右侧做正方形ADEF
（1）线段CF、BD之间的位置关系为_____，数量关系为______.
（2）当点D在线段BC的的延长线上时，如图②，上面的结论是否仍然成立，为什么？

Answer 1

1)

线段CF、BD之间的位置关系为CF=BD，数量关系为CF⊥BD

理由：

因为在正方形ADEF中，∠DAF=90,∠BAC=90

所以∠BAC=∠DAF

所以∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC

即∠BAD=∠CAF

又AB=AC,AD=AF

所以△BAD≌△CAF

所以BD=CF,∠B=∠ACF=45°.

所以∠BAF=∠BCA+∠ACF=45+45=90°

所以CF⊥BD

2)

仍然成立，理由：

因为在正方形ADEF中，∠DAF=90,∠BAC=90

所以∠BAC=∠DAF

所以∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC

即∠BAD=∠CAF

又AB=AC,AD=AF

所以△BAD≌△CAF

所以BD=CF,∠B=∠ACF=45°.

所以∠BAF=∠BCA+∠ACF=45+45=90°

所以CF⊥BD

Answer 2

（1）线段CF、BD之间的位置关系为_相互垂直_，数量关系为__BD=CF_.
（2）当点D在线段BC的的延长线上时，上面的结论成立。
理由：连接AE，则不难证明ADCEF共圆。AB=AC，AD=AF，<ABD=<ACF=45°，则△ABD全等于△ACF，所以BD=CF。D点在BC延长线上，结论也一样证明成立。

Answer 3

（1）CF垂直于BD，且CF=BD

（2）结论仍然成立，只需要证明三角形ABD全等于三角形ACF即可
显然AB=AC，AD=AF，
角BAD=角BAC+CAD=角DAF+CAD=角CAF，SAS全等，CF=BD
且角ACF=ABD=45度
那么角BCF=角ACB+ACF=90度，垂直

（1）的结论也是证明三角形ABD全等于三角形ACF所得，初二的知识而已，不需要共圆这种理论