Question

求f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011X-1|的最小值

老师讲的取|x-1|+|x-1/2|+|x-1/2|+|x-1/3|……+|x-1/2011|

然后他说对于这一类就是取中间那个。然后他1+2+3+……+2011=2011*2012/2
然后他就说了句什么（我没听懂，就是问这一步）得出了x=1/1422时取到最小值，请问为什么？怎么算中间那个？
啊老师说的是取√(2011*2012/2),为什么中间那个数可以这么确定？

Answer 1

设f(x)在x点上取得最小值,则必存在正整数k,1≤k≤2011使得kx-1=0,设k使kx-1>0的最小正整数,则(k-1)x-1≤0，此时
(1)x-1, 2x-1,…., (k-1)x-1均小于零;
(2)kx-1 ,(k+1)x-1，(k+2)x-1，,…., 2011x-1均大于等于零.
S(x)=(1-x)+ (1-2x)+…+(1-(k-1)x)+(kx-1)+....+ (2011x-1)
=(k-1)- k(k-1)x/2+ (2011-k+1) (2011+k)x/2-(2011-k+1)
=2k-2-2011+(2011×1006-k^2+k)x
这是x的线性函数且x的系数2011×1006-k^2+k>0,由kx-1>0得x>1/k,此时取x=1/k,f(x)变小,这与x点上取得最小值矛盾.
设x=1/k是最小点,此时
f(x)=2k-2013+(2011×1006-k^2+k)(1/k)
=2k-2013+2011×1006/k-k+1
=k+2011×1006/k-2012
确定正整数k使得S(x)值最小,也即k+2011×1006/k值最小,由均值定理k+2011×1006/k≥2√(k×2011×1006/k)=2√(2011×1006),且当k=2011×1006/k时,f(x)最小.

由k=2011×1006/k得k^2=2011×1006解得k=1422.345…,不是整数,但1422是距1422.345…最接近的整数,
故k=1422可使k+2011×1006/k最小的正整数,也即使f(x)最小,故最小值f(1422)= 1422+2011×1006/1422-2012=592043/711.

Answer 2

取x=1/1422，最小值=1184086/1422=832.690576652602