Question

指出下列函数f(z)的解析区域,,并求出其导数3)1/(z^2-1)

Answer 1

z=x+iy。

代入得：f(z)=(x+iy)³+2i(x+iy)。

=x³+3ix²y-3xy²-iy³+2ix-2y。

=x³-3xy²-2y+i(3x²y-y³+2x)。

则：u=x³-3xy²-2y,v=3x²y-y³+2x。

解析要求满足柯西黎曼条件：

∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x。

∂u/∂x=3x²-3y²,∂v/∂y=3x²-3y²二者相等。

∂u/∂y=-6xy-2,∂v/x=6xy+2二者互为相反数,满足柯西黎曼条件,因此该函数在复平面处处解析。

f '(z)=3z²+2i。

相关内容解释：

函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A,对A施加对应法则f,记作f（A）,得到另一数集B,也就是B=f（A），那么这个关系式就叫函数关系式,简称函数。

简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。

Answer 2

1/(z²-1)在z=±1处无定义，因此除了z=1和z=-1这两个点之外，在整个复平面上处处解析
f '(z)=-2z/(z²-1)²
求导的方程与实函数是一样的。

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Answer 3

除z= -1外处处解析。导数2z/（z∧2-1）∧2

Answer 4

令分母为零，得z=1或-1，即该函数的奇点为1和-1，除该两点外的区域为它的解析性区域。
其导数可利用商的求导法则求出：f'(z)=-2z/(z^2-1)^2