Question

求tanx的x=0处展开的佩亚诺余项泰勒公式.

Answer 1

通式没有规律，写不出完整的，你需要具体给定一个阶数才能求，利用tanx的原函数是Ln丨cosx丨，然后分别将Ln丨t丨与t=cosx展开到相应阶数+1，然后求一次导，即可。

Answer 2

sinx＝x－x3/6＋o(x3) 和 sinx＝x－x3/6＋o(x4) 都可以。
因为sinx的泰勒公式的下一项是x5/5!，它比x3、x4都高阶，所以这个地方写o(x3)还是o(x4)都可以。
不过如果题目是让你写出sinx的泰勒公式，这个地方还是根据前面展开式的最后一项－x3/6决定使用o(x3)。如果使用泰勒公式求极限，那么最后是用o(x3)还是o(x4)要根据题目决定。

类似地，e的x2 ＝1＋x2＋x4/2＋o(x5) 和 1＋x2＋x4/2＋o(x4)都可以。因为e的x2的泰勒公式的下一项是x6/6，比x4、x5都高阶。

一般地，如果一个函数f(x)展开到x^n，佩亚诺余项写作o(x^n)。

追问

我想问的是tanx，不是sinx...
能不能给个完整的tanx的展开式...

Answer 3

10阶泰勒展开式是：
tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11
最后一项是余项.
再下去也用不到了。一般到三阶就可以了。此时tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+O（x^4）