Question

设x1>-6,xn+1=√xn+6,证明{xn}极限存在

Answer 1

x2=√(x1+6)>0,所以可以假设x1>0(此不影响｛xn｝的极限)
由于xn>0,则(xn+1)-xn和(xn+1)^2-(xn)^2的正负属性一致。所以这里以方便的(xn+1)^2-(xn)^2来处理
(xn+1)^2-(xn)^2=(xn)+6-(xn)^2=-(xn-3)(xn+2)
由于xn>0所以(xn)+2>0
1.....当xn>3时，(xn+1)^2-(xn)^2<0，有(xn+1)-xn<0,就是{xn)为单调减数列，同时有xn>0，所以数列是有界的，故{xn}极限存在
2.....当xn<3时，(xn+1)^2-(xn)^2>0，有(xn+1)-xn>0,就是{xn}为单调增数列，同时有xn<3，所以数列是有界的，故{xn}极限存在
于是可以确定，当x1>3的时候，{xn)为单调减有下界数列，故有极限；
当x1<3的时候，{xn)为单调增有上界数列，故有极限；
当x1=3是，xn=3为常数列，也存在极限。