Question

高数曲面积分

设曲面 Σ为曲线 z=e^y,x=0 (1<=y<=2) 绕z轴 旋转一圈所成曲面下侧 计算
∫∫4zxdydz-2zdzdx+(1-z^2)dxdy

求过程 会算,算了好多遍了,就尼玛和答案不一样...

Answer 1

曲面是z＝e^(根号(x^2+y^2))，D＝{(x，y):1<=x^2+y^2<=4}
az/ax＝e^(根号(x^2+y^2))*x/根号(x^2+y^2)，az/ay=e^(根号段灶(x^2+y^2))*y/根号(x^2+y^2)，
然后套公袜槐式，告燃友重积分做极坐标变换。

算了半天，答案是(9e^4/4+e^2/4－3/2)*2pi。

追问

大哥..你的也不对啊..答案是6.5pi e^4-1.5pi e^2-3pi

追答

不好意思，答案确实正确。套公式后得到：D={(x，y):1<=x^2+y^2<=4}
二重积分_D 【4x^2e^(根号(x^2+y^2))/根号(x^2+y^2)－2ye^(根号(x^2+y^2))/根号(x^2+y^2)－1+e^(2根号(x^2+y^2))】dxdy
第一项利用对称性也等于4y^2e^(根号(x^2+y^2))/根号(x^2+y^2)的积分
＝2根号(x^2+y^2)e^(根号(x^2+y^2))的积分。
第二项利用对称性积分为0。
然后化为极坐标＝
2pi*积分(从1到2)[(2r^2+r)e^(2r)－r]dr
这个积分慢慢计算得到结果了。

Answer 2

∫腊码闭∫模毕<轮裂Σ>4zxdydz-2zdzdx+(1-z^2)dxdy=A+B+C=π[8e^2-4e]+0+π[-1.5e^4+0.5e^2+3]=π[-1.5e^4+8.5e^2-4e+3]