Question

证明：若f(x)的极限是0，且g(x)在（a，正无穷）有界，则f(x)g(x)的极限等于0.

g(x)有界但没说明是否单调，怎么证明它的极限？？？

Answer 1

设lim[x→+∞] f(x)=0（如果是x→x0，证明过程类似）
证明：由于g(x)有界，因此存在M>0，使得当x∈(a，+∞)时，有|g(x)|≤M
因为lim[x→+∞] f(x)=0，则任取ε>0，存在X>0，当x>X时，有|f(x)|<ε/M成立
此时，|f(x)g(x)|<(ε/M)*M=ε
因此：lim[x→+∞] f(x)g(x)=0

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Answer 2

设lim[x→+∞] f(x)=0（如果是x→x0，证明过程类似）
证明：由于g(x)有界，因此存在M>0，使得当x∈(a，+∞)时，有|g(x)|≤M
因为lim[x→+∞] f(x)=0，则任取ε>0，存在X>0，当x>X时，有|f(x)|<ε/M成立
此时，|f(x)g(x)|<(ε/M)*M=ε
因此：lim[x→+∞] f(x)g(x)=0