Question

已知a1=1,an+1+an=n(n-1,2,3……),求an 详细过程！！！

Answer 1

∵a(n+1)+an=n
∴a(n+1)=-an+n ①
设a(n+1)+x(n+1)+y=-[an+xn+y]
∴a(n+1)=-an-2xn-x-2y ②
进行比对
∴-2x=1,-x-2y=0
∴x=-1/2,y=1/4
∴[a(n+1)-1/2(n+1)+1/4]=-(an-1/2n+1/4)
∴[a(n+1)-1/2(n+1)+1/4]/(an-1/2n+1/4) =-1
∴{an-n/2+1/4}是等比数列,公比为-1
首项为a1-1/2+1/4=3/4
∴an-n/2+1/4=3/4*(-1)^(n-1)
∴an=n/2-1/4+3/4*(-1)^(n-1)

追问

设a(n+1)+x(n+1)+y=-[an+xn+y] 这是为什么？

追答

本题为a(n+1)=pan+f(n)型
p=-1,f(n)=n
要构造一个等比数列，才能求an
设要构造的等比数列为{an+xn+y},公比为-1
那么就有
a(n+1)+x(n+1)+y=-[an+xn+y]
这里用的时待定系数法

前一道题：b(n+1)=3bn+1① 简单，因为后面为常数1
但用的方法也是构造等比数列
可以设{bn+x}等比，公比为3
那么b(n+1)+x=3(an+x)
b(n+1)=3bn+2x ②
①②比对：2x=1,x=1/2
解题过程没有显示如何找到1/2
是直接写的

本题 揭示了构造数列的过程

Answer 2

a1=1, a2=1-a1=0;
a3=2-a2=2;
a4=3-a3=1;
a5=4-a4=3;
a6=5-a5=2
一次归纳就可以得到通项公式啦

追问

这种不能称为数列吧，既不按从小到大，又不按从大到小。

追答

都叫数列：不管什么顺序，只要是一种顺序就可以啦，比如：乱序也是一种顺序；
本题中规律还是比较明显的：a1=1,a3=2; a5=3; a7=4; ,,,,,,a2n-1=n,,,,,
a2=0,a4=1,a6=2,a8=3,,,,,,,a2n=n-1
所以数列{an}的通项公式为分段形式;
当n为奇数时，an=(n+1)/2;
当n为偶数时， an=(n-2)/2