Question

已知函数f（x）=xlnx ，若对所有x>=1，都有f（x）>=ax-1，求实数a的取值范围

Answer 1

f（x）'=lnx +1,x>=1所以f（x）'x>=1即单调递增
当x>=1，f（x）>=0
由题意知f（x）>=ax-1在x>=1时恒成立
所以ax-1《0在x>=1时恒成立
若a>0,有1《x《1/a,所以0《a《1
若a<0,有x》1/a恒成立
若a=0,满足题意
所以a的取值范围a《1

Answer 2

令g(x)=f(x)-(ax-1)=xlnx-ax+1>=0, 对于任意x>=1成立
即a<=lnx+1/x=h(x)
x>=1时，h'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2>=0, 则h(x)单调增，其最小值为h(1)=1
所以应有a<=1