Question

证明:若极限xn等于a,则极限xn的绝对值等于a的绝对值,反之不真。

Answer 1

0<=|(|xn|-|a|)|<=|xn-a|

两边取极限，利用夹逼原则，可知|xn|-->|a|。

反之不真，请看例子：

xn=1，当n为奇数时，xn=-1，当x为偶数时。

显然，|xn|=1，故xn|-->1，而xn的极限不存在。

对于一元函数有，可微<=>可导=>连续=>可积

对于多元函数，不存在可导的概念，只有偏导数存在。函数在某处可微等价于在该处沿所有方向的方向导数存在，仅仅保证偏导数存在不一定可微，因此有：可微=>偏导数存在=>连续=>可积。

可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；

可微与连续的关系：可微与可导是一样的；

可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；

可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导。

Answer 2

证明：

∵lim(n->∞)Xn=a

∴对任意的ε>0，总存在正整数N。当n>N时，有│Xn-a│<ε
==>││Xn│-│a││≤│Xn-a│<ε

于是，对任意的ε>0，总存在正整数N。当n>N时，有││Xn│-│a││<ε

即 lim(n->∞)│Xn│=│a│命题成立，证毕。

反之

∴对任意的ε>0，总存在正整数N。当n>N时，有││Xn│-│a││<ε
=然而=>││Xn│-│a││≤│Xn-a│

则此处│Xn-a│<ε不成立。

绝对值的有关性质：

①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性；

②绝对值等于0的数只有一个，就是0；

③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；

④互为相反数的两个数的绝对值相等。

Answer 3

0<=|(|xn|-|a|)|<=|xn-a|,
两边取极限，利用夹逼原则，可知|xn|-->|a|.
反之不真，请看例子：
xn=1,当n为奇数时，xn=-1,当x为偶数时。
显然，|xn|=1,故xn|-->1，而xn的极限不存在。

Answer 4

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