Question

高一数学题，函数

已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)=f(x)+1/(f(x))，讨论F(x)的单调性。

求解答……不会

Answer 1

设x1>x2，即x1-x2>0，则F(x1)-F(x2)=f(x1)+1/f(x1) - f(x2) - 1/f(x2) = [f(x1)-f(x2)]{[f(x1)f(x2)-1]/[f(x1)f(x2)]}，而f(x)是定义在R上的增函数，所以f(x1)-f(x2)>0，又对x∈R有f(x)>0，所以f(x1)f(x2)>0，现在对 f(x1)f(x2)-1 讨论，即当f(x1)f(x2)-1>0时，即f(x1)f(x2)>1，因为f(5)=1则x1>x2>5，此时，F(x1)-F(x2)>0；当f(x1)f(x2)-1<0时，即f(x1)f(x2)<1，则 x2<x1<5，此时，F(x1)-F(x2)<0 。
综上所述：F(x)在[5,+∞]上单调递增，在[-∞,5]上单调递减。

那个答案：【F(x)=f(x)+1/(f(x))>=2f(x)*1/（fx）=2】均值不等式，你还没学，必修5才学

追问

【F(x1)-F(x2)=f(x1)+1/f(x1) - f(x2) - 1/f(x2)】

f(x1)+1/f(x1)等于1+1/f(x1），这不等于F（x1）啊。

追答

F(x)=f(x)+1/(f(x))，这不是已知么？ f(x1)+1/f(x1)不等于F（x1）？
这是按定义来的，你要是高一就用这个方法

Answer 2

因为F(x)=f(x)+1/(f(x))>=2根号{f(x)*1/（fx）}=2
当f(x)=1/f(x)时等号成立。所以f(x)=1,即x=5
又因为f(x)在r上恒大于零，
所以F（x）的最小值为F（5）=2，即F(X)在（-无穷大，5）递减，（5，+无穷大）递增。

追问

【F(x)=f(x)+1/(f(x))>=2f(x)*1/（fx）=2】这步懂不了……为什么≥2f(x)*1/（fx）

求解释啊。。

追答

a^2+b^2>=2ab的推论，就是把f(x)当做a^2

Answer 3

∵f(x)>0,x∈R
∴1/f(x)>0,x∈R
∵F(x)=f（x）+1/f(x)
∴当x1∈R，x2∈R时，若x1>x2,则F(x1)>F(x2)
即随着x的增大，F(x)也必然增大
即在单调区间（-∞，+∞）上，函数F(x)是增函数。

这是我本人的解答，我们还没学到那里，不知道做的对不对。

追问

你能推算出F（x）一定是＞0的，但是这不能说明增减性。

因此错了，谢谢，我在等正确的解答。

追答

哦 谢谢

Answer 4

当x<0时 f(x)增大 1/f(x)减小 且f(x)为负 所以此时为减函数
x>0时 f(x)增大 1/f(x)减小 且f(x)为正 所以此时为增函数

Answer 5

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