Question

用数列极限的定义证明:lim n/n+1=1

Answer 1

证明过程如下：

|an - a| = |n/(n+1) - 1|

= |-1/(n+1)|

= 1/(n+1)

< 1/n

∴ 对于任意ε>0，取 N = [1/ε]

则当 n > N 时

总有 |n/(n+1) - 1| < 1/n < ε

即 lim(n->∞) n/(n+1) = 1

含义：

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

Answer 2

证明过程如下：

|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/n

ε>0，取N>[1/ε]

当n>N

|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/n<ε

所以lim n/(n+1)=1

扩展资料：

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z*，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有|xn+p-xn|<ε，这样的数列{xn} 便称为柯西数列。这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。

譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。

Answer 3

|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/n
任给ε>0,取N>[1/ε],当n>N,有：
|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/n<ε
所以：lim n/(n+1)=1

追问

|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/n<ε这个不明白啊！求解答 谢谢

追答

n>N>[1/ε],当然有：1/n<ε

Answer 4

|an - a| = |n/(n+1) - 1|
= |-1/(n+1)|
= 1/(n+1)
< 1/n

∴ 对于任意ε>0, 取 N = [1/ε],
则当 n > N 时,
总有 |n/(n+1) - 1| < 1/n < ε

即 lim(n->∞) n/(n+1) = 1

追问

请问为什么是1/n而不是1/ε