Question

已知x、y为正数，且x2+y2/2=1,则x√(1+y2)的最大值为？？？，x=？？？

已知x，y∈R，且(x^2+y^2)/2=1，则 x√(1+y^2)的最大值
解：∵(x^2+y^2)/2=1,∴x^2+y^2=2
x√(1+y^2)= √[x^2(1+y^2)
≤(1/2)[x^2+(1+y^2)]=(1/2)(2+1)=3/2
∴最大值为3/2
我是这样做的但是错了，答案是3根号2/4，后来老师说要乘系数，变成x√(1+y^2)= √[1/2*(2x^2)(1+y^2)才能做对。求解为什么要乘系数？？其他题我那样做能做对为什么这道题不行
打错了
解：∵x^2+y^2/2=1,∴2x^2+y^2=2
x√(1+y^2)= √[x^2(1+y^2)
≤(1/2)[x^2+(1+y^2)]=(1/2)(2+1)=3/2
∴最大值为3/2

Answer 1

第一种方法：
令x=cost，y=根号2sint t∈[0,π/2]
则x√(1+y2)=cost根号（1+2sin²t）=根号（cos²t+2sin²tcos²t）
=根号（cos²t-1/2+1/2sin²2t+1/2)=根号（1/2cos2t+1/2-1/2cos²2t+1/2)
=根号（-1/2cos²2t+1/2cos2t+1）=根号[-1/2（cos2t-1/2)²+9/8]
∵t∈[0,π/2]∴cos2t∈[-1,1]
所以当cos2t=1/2时最大，此时x=cost=cosπ/6=根号3/2，得x√(1+y2)最大值=根号9/8=3根号2/4

第二种方法1+y²=3-2x²
则x√(1+y2)=x根号（3-2x²）=根号（3x²-2x四次方）
令t=x²，因为x、y为正数，且x2+y2/2=1所以x∈[0，1]
∴t∈[0,1]
根号（3x²-2x四次方）=根号（3t-2t²）=根号[-2(t-3/4)²+9/8]
当t=3/4时最大，此时x=根号t=根号3/2,则x√(1+y2)最大值=根号9/8=3根号2/4

第三种方法1+y²=3-2x²
则x√(1+y2)=x根号（3-2x²）=根号2[x（3/2-x）]利用均值不等式最大值可求

Answer 2

你的错误是：
≤(1/2)[x²＋(1＋y²)]：此处的：x²＋1＋y²不是定值！！

Answer 3

当你算x值的时候就会发现你的式子的等号是取不到的
因为若要√ab≤1/2(a+b)中等号成立，必有a=b（a，b都大于0）
对于你这道题，等号成立则必有x^2=1+y^2
和(x^2+y^2)/2=1联立，得出y=0
与已知y为正数相悖
所以不对