Question

高中数列综合题

已知数列an满足a1+2 a2+2² a3+…+2的n-1次方 an =n²（n∈正整数）
（1）求数列{an}的通项公式
（2）求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

（1）因为a1+2 a2+2² a3+…+2^(n-2) a n -1+2^(n-1) an =n²，所以
a1+2 a2+2² a3+…+2^(n-2) a n -1=(n-1)²，两式相减，得2^(n-1) an =n²-(n-1)²=2n-1
所以an=(2n-1)/[2^(n-1)]
（2）用错位相减法：
Sn=1+3/2+5/2²+…+(2n-1)/[2^(n-1)]，两边乘以公比1/2，得
0.5Sn= 1/2+3/2²+…+(2n-3)/[2^(n-1)]+(2n-1)/(2^n)，两式相减，得
0.5Sn=1-2[1/2+1/2²+…+1/2^(n-1)]-(2n-1)/(2^n)=1/2^(n-2)-(2n-1)/(2^n)
所以Sn=1/2^(n-3)-(2n-1)/[2^(n-1)]

不知计算是否有错，思路是这样的。