Question

已知定义在R上的函数:f(x)满足f(x+3)=-f(x),且f(-1)=1,求f(2012)的值

没学过周期函数

Answer 1

当x=x+3时，有f(x+6)=-f(x+3)=f(x)所以f(x)是以6为周期的函数。同时，f(2)=f(-1+3)=-1,所以，f(2012)=f(2+335*6)=f(2)=-1

Answer 2

已知定义在R上的函数:f(x)满足f(x+3)=-f(x),且f(-1)=1,求f(2012)的值
解：因为f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
f(2012)=f(3*670+2)=f(6*335+2)=f(2)=-f(-1)=-1.

Answer 3

f(2012)=f(2+2010)=f(2+3*670)=f(2)
f(2)=f(-1+3)=-f(-1)=-1

追问

为什么f(2+3*670)=f(2)

追答

f(x+3*1)=-f(x)
f(x+3*2)=-f(x+3)=-(-f(x))=f(x)
也就是说当x+3*k中的k是偶数是f(x+3*k)=f(x) 若是奇数则f(x+3*k)=-f(x)