Question

x+y=c且均为正数 求(x+1/x)(y+1/y)最小值

rt
c是常数，补上了不好意思

Answer 1

(x+1/x)(y+1/y) =xy+(1+x^2+y^2)/(xy) ≥2√(1+x^2+y^2)①； ①式成立的条件是xy=(1+x^2+y^)/(xy)，即(xy)^2=1+x^2+y^2②； 因为x+y=c，所以x^2+y^2+2xy=c^2，即x^2+y^2=c^-2xy，代入②式求得:xy=√(2+c^2)-1③；所以: (x+1/x)(y+1/y) ≥2√(1+x^2+y^2) =2xy =2[√(2+c^2)-1]； 所以(x+1/x)(y+1/y)的最小值为: 2[√(2+c^2)-1]。

Answer 2

=(x^2+1)(y^2+1)/xy = (x^2y^2+1+(x^2+y^2))/xy
>=(x^2y^2+1+2xy)/xy
=xy + 1/xy + 2
x+y=c>=2Sqrt[xy]
所以xy <= c^2/4
利用函数y = x + 1/x的性质知道，当c^2/4 >= 1的时候x=1的时候取得最小值2
当c^2/4 < 1的时候在x = c^2/4的时候取得最小值c^2/4+4/c^2
所以(x+1/x)(y+1/y)最小值为
4 当c>=2
c^2/4+4/c^2 + 2当0<c<2

Answer 3

还有题目没说清楚吧？