Question

已知锐角三角形ABC中的内角A,B,A的对边分别为a,b,c,定义向量m=(sinB,-根号3),n=(cos2B,4cos^2(B/2-2))

且m//n，问：若b=1，求三角形ABC的面积最大值

Answer 1

m=(sinB,-√3),
n=(cos2B,4cos^2(B/2）-2)=（cos2B,2cosB),
由m∥n得sinB/cos2B=-√3/(2cosB),
∴tan2B=-√3,2B=2π/3，或5π/3，
B=π/3或5π/6.
b=1,
由正弦定理，a=sinA/sinB,c=sinC/sinB,
∴S△ABC=(1/2)acsinB=sinAsinC/（2sinB)=[cos(A-C)-cos(A+C)]/(4sinB）,
B=π/3时，S<=(1+1/2)/(2√3）=√3/4，
当A=C=π/3时取等号，
∴它的最大值=√3/4;
B=5π/6时S<=[1-(√3/2）]/2=(2-√3)/4,
当A=C=π/12时取等号，
∴它的最大值=(2-√3)/4.