Question

九上数学题

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外做等边△ACD，等边△ABE.已知<BAC=30度，EF垂直于AB，垂足为F，连接DF
(1)试说明AC=EF
(2)求证四边形ADFE是平行四边形

Answer 1

1）∵∠BAC=30°，∠ACB=90°,
∴∠ABC=60°=∠BAE，
又∵∠ACB=∠EAF=90°，AB=AE，
∴△ABC≌△AEF，
∴AC=EF

2）∵∠DAE=∠DAC+∠CAB+∠BAE=120°，∠AEB=60°，
∴∠DAE+∠AEB=180°，
∴AD∥EF，
又∵EF=AC=AD，
∴平行四边形ADFE

Answer 2

证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠AEF=30°
∴AE=2AF，且AB=2AF，
∴AF=CB，
而∠ACB=∠AFE=90°，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
AF=BCAE=BA，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；

（2）由（1）知道AC=EF，
而△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形

Answer 3

1）∵∠BAC=30°，∠ACB=90°,
∴∠ABC=60°=∠BAE，
又∵∠ACB=∠EAF=90°，AB=AE，
∴△ABC≌△AEF，
∴AC=EF