Question

数列{an}满足a1=1/3，当n属于正整数且n>1时，有a（n-1）·an=a（n-1）-an

（1）令bn=1/an（n属于正整数）求{bn}的通项公式
（2）求{an/n}的前n项和Tn，并证明Tn>（3/4） - 1/（n+2）

Answer 1

1.
a(n-1)an=a(n-1)-an
等式两边同除以ana(n-1)
1/an -1/a(n-1)=1，为定值。
1/a1=1/(1/3)=3
数列{1/an}是以3为首项，1为公差的等差数列。
bn=1/an，数列{bn}是以3为首项，1为公差的等差数列。
bn=3+(n-1)=n+2
n=1时，b1=1/(a1)=1/(1/3)=3 b1=1+2=3，同样满足。
数列{bn}的通项公式为bn=n+2。
2.
an=1/bn=1/(n+2)
an/n=1/[n(n+2)]=(1/2)[1/n -1/(n+2)]
Tn=a1/1+a2/2+...+an/n
=(1/2)[1/1-1/3+1/2-1/4+...+1/n -1/(n+2)]
=(1/2)[(1+1/2+...+1/n)-(1/3+1/4+...+1/(n+2))]
=(1/2)[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2]
=3/4 -1/[2(n+1)] -1/[2(n+2)]

Tn-[3/4 -1/(n+2)]
=3/4 -1/[2(n+1)]-1/[2(n+2)] -3/4 +2/[2(n+1)]
=1/[2(n+1)-1/[2(n+2)]
=(1/2)[1/(n+1)-1/(n+2)]
=1/[2(n+1)(n+2)]>0
Tn>3/4 -1/(n+2)