Question

若函数f(x),g(x)都为增函数，求f(x)-g(x）；f(x)+g(x);f(x)/g(x),在区间D的单调性

过程！

Answer 1

对于x1<x2∈D
f(x1)<f(x2),g(x1)<g(x2)

f(x)-g(x）

[f(x2)-g(x2)]-[f(x1)-g(x1)]

=f(x2)-f(x1)-(g(x2)-g(x1))
不知哪个增的快哪个增的慢，所以不知是不是增函数或者减函数

f(x)+g(x)

[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)]
=(f(x2)-f(x1))+(g(x2)-g(x1))
>0
所以f(x)+g(x)是增函数

f(x)/g(x)

f(x2)/g(x2)-f(x1)/g(x1)

=[f(x2)g(x1)-f(x1)g(x2)][g(x1)g(x2)]
无从判断
所以不知是不是增函数或者减函数

追问

真的不能判断吗？我以为我不会做？分类讨论可以吗？

追答

讨论不了，可以举反例
例如第一个
f(x)=x, g(x)=x^2
D=(0,无穷)
x1=1,x2=2
f(x1)-g(x1)=0
f(x2)-g(x2)=-2，看着是减

你再把f，g反一反，看到是增

最后一个也有反例
f=3x
g=x
是常数。。。
f=3x^2
g=x
增
再f，g交换一下,f=x,g=3x^2减

Answer 2

f(x)+g(x)为增（理由明显，可以用x1，x2证明），其余单调性不一定（可以用举例论证）<比如f(x)=x，g(x)=2x,f(x)-g(x）=x,f(x)/g(x)=2,f(x)=x^2，g(x)=x,f(x)-g(x）=x^2-x,先减后增，f(x)/g(x)=x增，f(x)=x，g(x)=x^2情况相反

Answer 3

1，求导f'(x)=ax+1/x =0 =>ax^2+1=0 x^2=-1/a x1=-根号（－1/a） x2=根号（-1/a）
只有当a<0时x1 x2才有意义 且在x2的两边f'(x)>0 所以在（0，正无穷大）上单调增。
2，若f(x)在(0，1]上的最大值是-1 这这个点要在根号（-1/a）
-处取得。f(根号（-1/a）)＝1/2*a*(-1/a)-1/2lna=-1 =>a=e