Question

求极限 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)

如图，请把过程写详细点。尤其是使用洛比塔法则的部分。

Answer 1

lim(x→0) 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)

=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{ln[x+√(1+x^2)]*ln(1+x)} (等价无穷小代换)

=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[x+√(1+x^2)]}

=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[1-1+x+√(1+x^2)]} (等价无穷小代换)

=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*[x+√(1+x^2)-1]}

=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x^2+x√(1+x^2)-x} (0/0)

=lim(x→0) {1/(1+x)-1/[x+√(1+x^2)]*[1+x/√(1+x^2)]}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}

=lim(x→0) {1/(1+x)-1/√(1+x^2)}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}

=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)*(1+x)+√(1+x^2)*√(1+x^2)*(1+x)+x^2*(1+x)-√(1+x^2)*(1+x)}

=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)+(1+x^2)+x^2-√(1+x^2)} （(0/0)

=lim(x→0) {x/√(1+x^2)-1}/{2√(1+x^2)+2x^2/√(1+x^2)+4x-x/√(1+x^2)}

=lim(x→0) {x-√(1+x^2)}/{2(1+x^2)+2x^2+4x√(1+x^2)-x}

到这一步，看到分母为2，而分子为-1

因此极限为-1/2

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

lim(x→0) 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{ln[x+√(1+x^2)]*ln(1+x)} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[x+√(1+x^2)]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[1-1+x+√(1+x^2)]} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*[x+√(1+x^2)-1]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x^2+x√(1+x^2)-x} (0/0)
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/[x+√(1+x^2)]*[1+x/√(1+x^2)]}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/√(1+x^2)}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)*(1+x)+√(1+x^2)*√(1+x^2)*(1+x)+x^2*(1+x)-√(1+x^2)*(1+x)}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)+(1+x^2)+x^2-√(1+x^2)} （(0/0)
=lim(x→0) {x/√(1+x^2)-1}/{2√(1+x^2)+2x^2/√(1+x^2)+4x-x/√(1+x^2)}
=lim(x→0) {x-√(1+x^2)}/{2(1+x^2)+2x^2+4x√(1+x^2)-x}
到这一步，看到分母为2，而分子为-1
因此极限为-1/2

追问

其实原题里面2个分式的分母在x→0处都是x的等价无穷小，通分以后分母直接可以用x^2代替了。答案-1/2跟我做的一样。我一开始是用洛必塔求导的时候算错了一步，后来自己又做了一遍就做出来了。

追答

你说的对，不过前一个等价无穷小我不知道，所以做了这么长

Answer 3

其实知道ln（x+根号(1+x方)）的等价无穷小是x，和其导数为(根号(1+x方)）分之1就可以自己算了。很简单