Question

计算曲面积分I=∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dzdx，其中∑为曲面z=1-x^2-y^2(z≥0)的上侧

谢谢！

Answer 1

题目中最后一项应该是dxdy
被平面∑1：z=0，x²+y²≤1，下侧，则∑+∑1为封闭曲面
用高斯高公式
∫∫(∑+∑1) 2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy
=∫∫∫ (6x²+6y²+6z²) dxdydz
球坐标
=6∫∫∫ r^4sinφ drdφdθ
=6∫[0→2π]dθ∫[0→π/2]sinφdφ∫[0→1] r^4 dr
=12π(1/5)
=12π/5

下面减去∑1的积分：
∫∫∑1 2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy

=∫∫ 3 dxdy D：x²+y²≤1
=3π
最终结果为：12π/5 - 3π = -3π/5

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

Answer 2

高斯公式。