Question

定义在R上的函数y=f(x),若对任意不等实数x1,x2满足[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0，且函数y

定义在R上的函数y=f(x),若对任意不等实数x1,x2满足[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0，且函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,则不等式f(x+4)+f(2x-1)>0的解集是什么？

Answer 1

对任意不等实数x1,x2满足[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0，
特别的，x1>x2时f(x1)-f(x2)<0,
f(x1)<f(x2),
∴f(x)↓。
函数y=f(x-1)=g(x)的图像关于点(1,0)对称,
因点A(x,y)关于点(1,0)的对称点为B(2-x,-y),
故g(2-x)=-y,即f[(2-x)-1]=-f(x-1),亦即f(1-x)=-f(x-1),
∴f(x)为奇函数，
不等式f(x+4)+f(2x-1)>0化为
f(x+4)>-f(2x-1)=f(1-2x),
又化为x+4<1-2x,3x<-3,
∴{x|x<-1},为所求。