Question

已知关于x的二次函数y=x²-mx+(m²+1)/2与y=x-mx-(m²+2)/2,这两个二次函数

已知关于x的二次函数y=x²-mx+(m²+1)/2与y=x-mx-(m²+2)/2,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A、B两个不同的点
1）试判断哪个二次图像可能经过A、B两点
2）若A点坐标为（-1,0），试求出B点坐标
3）在（2）的条件下，对于经过A、B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小

Answer 1

解：（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+m2+12，
由于△=（-m）2-4×1×m2+12=-m2-2＜0，
所以此函数的图象与x轴没有交点；
对于关于x的二次函数y=x2-mx-m2+22，
由于△=（-m）2-4×1×（-m2+22）=3m2+4＞0
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．
故图象经过A、B两点的二次函数为y=x2-mx-m2+22；
（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx-m2+22，得1+m-m2+22=0．
整理，得m2-2m=0．
解之，得m=0，或m=2．
当m=0时，y=x2-1．
令y=0，得x2-1=0．
解这个方程，得x1=-1，x2=1，
此时，B点的坐标是B（1，0）；
当m=2时，y=x2-2x-3．
令y=0，得x2-2x-3=0．
解这个方程，得x1=-1，x2=3，
此时，B点的坐标是B（3，0）．
（3）当m=0时，二次函数为y=x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为直线x=0，
所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小．
当m=2时，二次函数为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，此函数的图象开口向上，
对称轴为x=1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．