Question

对于函数f(x)，设A=｛x｜f(x)=x｝,B=｛x｜f〔f（x）〕=x｝ 1.求证：A包含于B

2.f(x）=ax² -1（a∈R,x∈R）,且A=B≠∅，求a的取值范围

Answer 1

（1）.对于任意x∈A,有f(x)=x,则f(f(x))=f(x)=x,故x∈B.从而A包含于B
(2).A=｛x/ax~2-1=x｝,A=B≠空 即是说｛x/a(ax~2-1)~2-1=x｝=｛x/ax~2-1=x｝≠空,也就是说对于一切x∈B,必然有x∈A.
将a(ax~2-1)~2-1-x因式分解为(ax~2-x-1)((ax)~2+ax+1-a).
故(ax)~2+ax+1-a=0没有异于ax~2-x-1=0的根的根.
a≠0时,后式的根为 (1±√4a+1)/2a,前式的根为(-1±√4a-3)/2a.
a≥3/4时,｛1±√4a+1｝包含｛-1±√4a-3｝,解得a=3/4,
a＜3/4时,前式无解,故显然可以
a=0时,前式无解,故显然可以.

Answer 2

1.对应任意的x0属于B，x0=f〔f（x）〕=x可以知道 x=x0
由f(x)=x可以得到当X=X0时，f(x)=x0 他属于A的一个元素，所以A 包含于B
2,。f(x)=ax2-1分类讨论
（1）假设a=0 那么函数是常数函数，f(x)的值域就是-1 定义域为一切实数故A={-1}
f(f(x)) 他的定义域为-1 值域是-1 故B={-1}。
（2）假设a不等于0，那么函数是2次函数 ，f(x)》=-1故A={大于等于-1}
f(f(x)),他的定义域就是大于等于-1的实数。那么他的值域就应该是大于等于-1的实数。故B={大于等于-1} 所以A=B