Question

已知函数y=f(x)是定义在【-1,1】上的减函数，且对于定义域内的任意x都有f（-x）+f（x）=0

（1）证明：对任意X1，X2∈【-1，1】都有【f(x1)+f(x2)】(x1+x2)≤0
（2）若f(1-a)+f(1-a^2)＜0，求实数A的取值函数。

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Answer 1

1）、令x=0，则2f（0）=0，所以f（0）=0,；对任意X1，X2∈【-1,1】来说，
当x1+X2≥0时，即X1≥-X2，因为是减函数，所以f(X1)≤f（-X2），即f（X1）-f（-X2）≤0，
又f(X2)=-f（-x2），所以f（X1）+f(X2)≤0，所以【f(x1)+f(x2)】(x1+x2)≤0；

当x1+X2＜0时，即X1＜-X2，因为是减函数，所以f(X1)＞f（-X2），即f（X1）-f（-X2）＞0，
又f(X2)=-f（-x2），所以f（X1）+f(X2)＞0，所以【f(x1)+f(x2)】(x1+x2)≤0；

2）、因为f（1-a）＜-f（1-a^2）,而-f（1-a^2）=f（a^2-1），所以f（1-a）＜f（a^2-1），因为函数为减函数，所以1-a＞a^2-1，整理得a^2+a-2＜0，解得a∈[-2,1]